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4차원에서 다른 두 2차원 곡면 발견
우리 대학 수리과학과 박정환 교수가 카일 헤이든(Kyle Hayden) 콜롬비아 대학교 교수, 김승원 서울대학교 연구원, 매기 밀러(Maggie Miller) 스탠포드 대학교 연구원, 아이작 선버그(Isaac Sundberg) 막스플랑크 연구소 연구원과 함께 40년간 해결되지 않았던 위상수학계 난제를 해결했다고 5일 밝혔다.
매듭이란 3차원 공간 안에 원이 꼬여서 들어가 있는 형태를 말한다. 물리적으로는 신발 끈을 복잡하게 묶은 후에 끈의 양 끝을 하나로 붙인 원을 생각하면 된다. 매듭은 1차원적 기하학적 대상이다. 그리하여 모든 매듭은 사이퍼트 곡면이라는 2차원 곡면의 경계가 되는데 하나의 매듭이 여러 개의 서로 다른 사이퍼트 곡면의 경계가 되기도 한다. 많은 경우 위상수학에서는 하나의 차원이 더 해지면 서로 달랐던 기하학적 대상들이 같아지고는 한다. 현재 인디애나 대학교에서 명예교수로 있는 찰스 리빙스턴(Charles Livingston)은 이런 현상이 사이퍼트 곡면에서도 일어날 것이라고 1982년에 추측하였다. 즉, 그는 어떤 매듭의 두 사이퍼트 곡면이 3차원에서는 다르더라도 4차원 공간에서는 항상 같아질 것으로 추측한 것이다. 이 추측의 하나의 배경은 다년간 3차원 공간에서 다르다고 증명되었던 수많은 사이퍼트 곡면들을 많은 수학자가 4차원 공간에서 관찰하였지만, 대부분의 경우 4차원 공간에서는 같아진다는 사실을 증명하였기 때문이다.
박 교수는 동료 연구자와 함께 리빙스턴 추측이 거짓이라는 사실의 증명을 하였다. 이 증명을 포함하고 있는 ‘4차원 공안의 사이퍼트 곡면(Seifert surfaces in the 4-ball)’ 논문을 최근 프리프린트(학술지 출판 전에 사전 공개되는 논문)로 공개했다.
이들은 <그림 1>에서 보이는 두 개의 사이퍼트 곡면을 사용하였다. 이 두 개의 사이퍼트 곡면은 <그림 2>의 닫힌곡면을 두 개로 나누어서 얻어진 것이다. 즉, <그림 2>는 이 두 개의 사이퍼트 곡면이 같은 매듭을 경계로 한다는 사실을 설명해 주고 있다.
이 두 개의 사이퍼트 곡면이 다르다는 사실은 두 가지의 다른 방법을 사용하여 증명하였다. 첫 번째 방법은 위상수학에서 기본적으로 사용되는 피폭 공간이라는 개념을 사용하였다. 두 번째 방법은 존스 다항식(Jones polynomial)을 일반화한 코바노프 호몰로지(Khovanov homology)를 사용하였다. 특히, 위 연구자들은 코바노프 호몰로지를 이용하여 4차원 공간 안의 2차원 곡면들에 관한 다양한 연구를 진행하고 있다. 예를 들어, 이번에 발표한 논문에는 위상적으로는 4차원에서 같아지지만 매끄러운 구조를 유지하면서 같아질 수 없는 두 개의 사이퍼트 곡면의 존재성도 증명하였다. 이는 4차원 공간에서만 일어나는 미묘하고 신비한 현상을 대변한다. 박 교수와 연구자들은 이 논문은 계기로 앞으로 4차원 공간의 2차원 곡면에 대한 더 활발한 연구를 할 수 있을 것으로 기대하고 있다.
2022.07.05
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유룡 교수, 벌집 모양 규칙적 구조의 제올라이트 개발
- 사이언스誌 발표,“제올라이트 학계의 20여년 숙원 과제 해결!”-
우리 학교 화학과 유룡 교수 연구팀은 벌집모양의 메조나노기공과 보다 미세한 크기의 마이크로나노기공이 규칙적으로 배열되어 있는 ‘육방정계 구조규칙적 위계나노다공성 제올라이트’ 신물질을 개발하는데 성공하였다.
유 교수팀은 2009년 나노판상형태의 초박막 제올라이트 물질을 합성하여 세계 최고 권위의 과학 학술지인 네이처誌에 게재한데 이어, 벌집모양의 메조나노기공을 갖는 제올라이트 물질의 개발 성과로 사이언스誌 2011년 7월호(7월 15일자)에 논문을 게재하여 제올라이트 연구의 우수성과 학술적 중요성을 모두 인정받았다.
제올라이트는 가솔린 생산을 비롯하여 석유화학산업 전반에 걸쳐 세계적으로 가장 널리 이용되는 촉매물질이다. 촉매는 다양한 화학 반응에서 사용되어 반응을 촉진시킴은 물론, 반응 시간을 단축시켜 경제성을 높이는 데 활용되는 물질이다. 화학 산업 분야에서 사용되는 촉매 물질들은 사용 후 분리를 용이하게 하기 위해 주로 고체 형태로 이루어진 촉매를 사용하는데, 제올라이트는 현재 사용되고 있는 다양한 고체 촉매들 중에서 40% 이상을 차지할 정도로 매우 높은 비율로 다양한 화학 산업 전반에 걸쳐 이용되고 있는 물질이다. 때문에, 제올라이트의 촉매 효율을 높일 경우, 이에 따른 경제적 효과는 막대하다고 할 수 있다.
기존에 산업 전반 분야에 사용되고 있는 일반 제올라이트 촉매 물질들은 내부에 무수한 미세구멍(나노세공)들이 규칙적으로 뚫려 있지만 그 직경이 매우 작아 반응 대상 분자의 확산 속도가 느리기 때문에 촉매활성이 낮은 단점이 있었다. 이를 해결하기 위해 연구팀은 미세한 마이크로나노기공과 그 보다 큰 직경의 메조나노기공이 동시에 규칙적으로 배열*되어 있는 제올라이트 물질을 합성하였다. 이러한 구조의 물질은 제올라이트 학계에서 수많은 연구자들이 합성하고자 지난 20여 년 이상을 시도해온 물질로서, 이번에 유 교수팀이 드디어 제올라이트 학계의 20여 년 동안의 숙원 과제를 해결하는 방법을 제시한 것이다. * 작은 도로만 있어 교통체증이 심한 대도시에 큰 도로와 작은 도로를 유기적으로 구성하는 도시계획을 수립, 시행함으로써 원활한 교통 흐름을 만들어 내는 원리와 같다. 크고 작은 나노세공이 유기적으로 연결된 제올라이트 내부에서 분자의 흐름이 훨씬 수월해진다.
이번에 개발한 제올라이트 물질은 연구팀이 특수 설계한 계면활성제를 사용하여 합성할 수 있었다. 이 계면활성제는 머리 부분에 제올라이트 마이크로 기공 유도체를 포함하여 제올라이트 골격의 형성을 유도하고, 소수성 꼬리 부분은 제올라이트의 마이크로 기공보다 더 큰 메조 기공을 벌집 구조 모양으로 배열할 수 있도록 하였다. 지금까지 알려져 있는 제올라이트 합성 원리는 하나의 기공 유도 분자가 하나의 매우 작은 마이크로 기공을 유도했던 반면에, 본 연구팀이 개발한 방법은 하나의 분자가 서로 다른 크기의 기공을 규칙적으로 유도한다는 점에서 기존의 방법과 차별화된다.
유교수팀이 세계 최초로 2009년에 개발한 2 nm 극미세 두께의 나노판상형 제올라이트가 2차원적인 형태로 이루어진 물질이었다면, 이번에 합성에 성공한 ‘육방정계 구조규칙적 위계나노다공성 제올라이트’는 3차원적 구조 규칙성을 띤 나노구조물로 지금까지 볼 수 없었던 이상적이고 안정적인 벌집 구조를 갖고 있다.
때문에, 새로 개발한 제올라이트는 산업적으로는 중요하지만 커다란 분자 크기 때문에 기존의 제올라이트를 사용하기 쉽지 않았던 물질의 촉매로 사용할 수 있게 되었다.
유룡 교수는 “이번에 개발한 제올라이트는 지금까지 볼 수 없었던 이상적이고 안정적인 기공구조를 갖고 강한 산성을 띠고 있어 기존의 제올라이트의 단점을 충분히 보안한 물질이다. 따라서 앞으로 산업적으로 중요한 많은 고부가 가치 반응에서 고성능 촉매로 사용될 수 있을 것으로 기대한다. 뿐만 아니라, 이번 연구를 통해 본 연구단이 개발한 합성 방법이 여러 종류의 제올라이트에도 적용이 가능함을 보이면서 앞으로 200여 가지가 넘는 기존의 제올라이트들의 단점도 해결할 수 있을 것이다.”고 연구의의를 밝혔다.
이번 논문의 제1저자인 나경수 박사는 성균관대학교 화학과를 조기졸업하고 KAIST에서 석사와 박사를 4년 반만에 마친 수재다. 지난 2월에는 KAIST 우수 박사학위 논문상을 수상하기도 했으며, 현재 유룡 교수가 맡고있는 KAIST 화학과 기능성 나노물질 연구단에서 박사후 과정 중이다.
[그림1] ‘육방정계 구조규칙적 위계나노다공성 제올라이트’의 주사 전자현미경 사진. 균일한 두께와 길이의 뾰족한 바늘 모양의 결정들이 전 영역에 걸쳐 고루 존재하는 것을 볼 수 있다.
[그림2] ‘육방정계 구조규칙적 위계나노다공성 제올라이트’의 투과 전자현미경 사진
2011.07.15
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